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Ondes mécaniques progressives

Résumé complet

Définition

Une onde est la propagation d'une perturbation dans un milieu sans transport de matière, mais avec transport d'énergie. La célérité vv dépend uniquement du milieu.

λ=vT=vN\lambda = vT = \frac{v}{N}
y(x,t)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πλx+φS)y(x,t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \varphi_S\right)

Front d'onde à l'instant t1t_1 : xf=vt1x_f = v t_1. Pour x>xfx > x_f, l'élongation est nulle. Le point MM commence à vibrer à t0=xM/vt_0 = x_M / v.

Δφ=φS−φM=2πxλ\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M = \frac{2\pi x}{\lambda}

En phase : x=kλx = k\lambda — Opposition : x=(2k+1)λ2x = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} — Quadrature : x=(4k+1)λ4x = (4k+1)\dfrac{\lambda}{4}

Stroboscope : si Ne=NN_e = N → corde immobile. Si Ne<N/kN_e < N/k → mouvement apparent dans le sens réel. Si Ne>N/kN_e > N/k → mouvement apparent dans le sens opposé.

⚠

Attention : la phase initiale φS\varphi_S ne prend que deux valeurs : 00 (départ vers le sens positif) ou π\pi (départ vers le sens négatif). Pour un point MM, elle se détermine à t=xM/vt = x_M/v et non à t=0t = 0.

Équation horaire d'un point M

Données

Source SS en x=0x = 0, point MM à l'abscisse xMx_M. La source vibre selon yS(t)=asin⁡ ⁣(2πTt+φS)y_S(t) = a\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T}t + \varphi_S\right). Célérité vv, période TT, longueur d'onde λ=vT\lambda = vT.

1

Le point MM reçoit la perturbation avec un retard τ=xM/v\tau = x_M / v par rapport à la source.

2

On substitue t→t−τt \to t - \tau dans l'équation de la source :

yM(t)=asin⁡ ⁣(2πT(t−xMv)+φS)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πxMλ+φS)y_M(t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x_M}{v}\right) + \varphi_S\right) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi x_M}{\lambda} + \varphi_S\right)
3

Cette expression n'est valide que pour t≥t0=xM/vt \geq t_0 = x_M / v. Avant cette date, yM(t)=0y_M(t) = 0.

4

Détermination de φS\varphi_S : à t=t0=xM/vt = t_0 = x_M/v, on lit sur le graphe si yMy_M part vers les valeurs positives (φS=0\varphi_S = 0) ou négatives (φS=π\varphi_S = \pi).

yM(t)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πxMλ+φS)pour t≥xMvy_M(t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi x_M}{\lambda} + \varphi_S\right) \quad \text{pour } t \geq \frac{x_M}{v}
⚠

Erreur fréquente : lire la phase initiale à t=0t = 0 au lieu de t=t0=xM/vt = t_0 = x_M/v. C'est à t0t_0 que le point MM commence à vibrer.

Déphasage et relations de phase

Données

Source SS et point MM séparés par xx. Phase de SS : φS\varphi_S. Phase de MM : φM=−2πxλ+φS\varphi_M = -\dfrac{2\pi x}{\lambda} + \varphi_S.

1

Le déphasage de MM par rapport à SS est :

Δφ=φS−φM=2πxλ\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M = \frac{2\pi x}{\lambda}
2

En phase (Δφ=2kπ\Delta\varphi = 2k\pi, k∈N∗k \in \mathbb{N}^*) :

x=kλx = k\lambda
3

En opposition de phase (Δφ=(2k+1)π\Delta\varphi = (2k+1)\pi) :

x=(2k+1)λ2x = (2k+1)\frac{\lambda}{2}
4

En quadrature de phase (Δφ=π2+2kπ\Delta\varphi = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi) :

x=(4k+1)λ4x = (4k+1)\frac{\lambda}{4}
⚠

Attention : Δφ=φS−φM\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M est toujours positif (la source est en avance sur le point MM). Ne pas confondre avec φM−φS\varphi_M - \varphi_S.

Profil spatial à un instant $t_1$

Données

Onde sinusoïdale de célérité vv, période TT, longueur d'onde λ\lambda, amplitude aa, phase initiale φS\varphi_S. On fixe t=t1t = t_1.

1

On part de l'équation générale y(x,t)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πλx+φS)y(x,t) = a\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T}t - \dfrac{2\pi}{\lambda}x + \varphi_S\right) et on fixe t=t1t = t_1.

y(x)=asin⁡ ⁣(−2πxλ+2πt1T+φS)pour 0≤x≤xfy(x) = a\sin\!\left(-\frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi t_1}{T} + \varphi_S\right) \quad \text{pour } 0 \leq x \leq x_f
2

Le front d'onde à l'instant t1t_1 est en :

xf=v t1x_f = v\,t_1
3

Pour x>xfx > x_f, le milieu n'a pas encore été atteint : y(x)=0y(x) = 0.

4

Célérité à partir de deux profils : si à t1t_1 le front est en xf1x_{f_1} et à t2t_2 en xf2x_{f_2} :

v=xf2−xf1t2−t1v = \frac{x_{f_2} - x_{f_1}}{t_2 - t_1}

La courbe correspondant à l'instant le plus tardif a son front d'onde le plus avancé (xf2>xf1x_{f_2} > x_{f_1} si t2>t1t_2 > t_1). La longueur d'onde λ\lambda se lit comme la distance entre deux crêtes (ou creux) consécutifs sur le profil.

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