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Le Noyau Atomique & Réactions Nucléaires

Résumé complet

Structure du noyau

Noyau ZAX^A_Z X : ZZ protons, N=A−ZN = A - Z neutrons. Notation : proton 11p^1_1 p, neutron 01n^1_0 n, électron −10e^0_{-1} e. Isotopes : même ZZ, AA différents.

Δm=Zmp+(A−Z)mn−m(ZAX)>0\Delta m = Z m_p + (A-Z)m_n - m(^A_Z X) > 0
El=Δm⋅c2ElA=Δm⋅c2AE_l = \Delta m \cdot c^2 \qquad \frac{E_l}{A} = \frac{\Delta m \cdot c^2}{A}

Stabilité comparée par El/AE_l/A (pas par ElE_l seule). Maximum autour de 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe} : El/A=8,8 MeVE_l/A = 8{,}8\ \text{MeV}. Courbe d'Aston : −El/A=f(A)-E_l/A = f(A), minimum = noyau le plus stable.

Unités nucléaires

1 u=1,66×10−27 kg1\ \text{u} = 1{,}66 \times 10^{-27}\ \text{kg} ; 1 u⋅c2=931,5 MeV1\ \text{u} \cdot c^2 = 931{,}5\ \text{MeV} ; 1 MeV=1,6×10−13 J1\ \text{MeV} = 1{,}6 \times 10^{-13}\ \text{J}

Radioactivité — types

α\alpha : ZAX→Z−2A−4Y+24He^A_Z X \to ^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2 \text{He} (noyaux lourds A>200A>200) | β−\beta^- : ZAX→Z+1AY+−10e^A_Z X \to ^{A}_{Z+1} Y + ^0_{-1} e | β+\beta^+ : ZAX→Z−1AY++10e^A_Z X \to ^{A}_{Z-1} Y + ^0_{+1} e | γ\gamma : ne modifie ni AA ni ZZ

N(t)=N0e−λtT=ln⁡2λτ=1λN(t) = N_0 e^{-\lambda t} \qquad T = \frac{\ln 2}{\lambda} \qquad \tau = \frac{1}{\lambda}
W=(mavant−mapreˋs)⋅c2W = (m_{\text{avant}} - m_{\text{après}}) \cdot c^2

Défaut de masse & Énergie de liaison

Données

Noyau ZAX^A_Z X de masse m(ZAX)m(^A_Z X). Masses : mpm_p (proton), mnm_n (neutron). ZZ protons, N=A−ZN = A - Z neutrons.

1

La masse du noyau est inférieure à la somme des masses des nucléons séparés : m(ZAX)<Zmp+(A−Z)mnm(^A_Z X) < Z m_p + (A-Z) m_n

2

On définit le défaut de masse :

Δm=Zmp+(A−Z)mn−m(ZAX)>0\Delta m = Z m_p + (A-Z) m_n - m(^A_Z X) > 0
3

Par la relation d'Einstein E=mc2E = mc^2, l'énergie de liaison est l'énergie à fournir pour séparer le noyau en nucléons isolés :

El=Δm⋅c2=[Zmp+(A−Z)mn−m(ZAX)]c2>0E_l = \Delta m \cdot c^2 = \left[Z m_p + (A-Z) m_n - m(^A_Z X)\right] c^2 > 0
4

Pour comparer la stabilité des noyaux, on calcule l'énergie de liaison par nucléon :

ElA=Δm⋅c2A\frac{E_l}{A} = \frac{\Delta m \cdot c^2}{A}

Exemples : ElA(24He)=6,9 MeV\frac{E_l}{A}(^4_2\text{He}) = 6{,}9\ \text{MeV} ; ElA(2656Fe)=8,8 MeV\frac{E_l}{A}(^{56}_{26}\text{Fe}) = 8{,}8\ \text{MeV}. Le fer est plus stable que l'hélium.

⚠

Attention : comparer la stabilité avec El/AE_l/A, jamais avec ElE_l seule. Un noyau plus lourd a une ElE_l plus grande sans être forcément plus stable.

Loi de décroissance radioactive

Contexte

Un échantillon contient N0N_0 noyaux radioactifs à t=0t = 0. λ\lambda : constante radioactive (en s−1\text{s}^{-1}). La désintégration est aléatoire.

1

Le nombre de désintégrations pendant dtdt est proportionnel à NN et à dtdt :

dN=−λN dt⇒dNdt+λN=0dN = -\lambda N\, dt \quad \Rightarrow \quad \frac{dN}{dt} + \lambda N = 0
2

Résolution de l'équation différentielle (séparation des variables, intégration) :

N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\, e^{-\lambda t}
3

La période radioactive TT (demi-vie) est le temps pour que N=N0/2N = N_0/2 :

T=ln⁡2λT = \frac{\ln 2}{\lambda}
4

La constante de temps τ=1/λ\tau = 1/\lambda. L'activité A(t)A(t) (en Bq) :

A(t)=λN(t)=A0 e−λt(A0=λN0)A(t) = \lambda N(t) = A_0\, e^{-\lambda t} \qquad (A_0 = \lambda N_0)
⚠

Erreur fréquente : confondre la période TT et la constante de temps τ\tau. On a T=τln⁡2≈0,693 τT = \tau \ln 2 \approx 0{,}693\,\tau. Ne pas confondre non plus le symbole AA (activité) avec le nombre de masse AA.

Types de désintégrations radioactives

Lois de conservation

Toute réaction nucléaire conserve : le nombre de masse AA (nucléons) et le numéro atomique ZZ (charges). Ces deux lois sont obligatoires.

1

Radioactivité α\alpha — concerne les noyaux lourds (A>200A > 200). Émission d'un noyau 24He^4_2\text{He} :

ZAX→Z−2A−4Y+24He^A_Z X \rightarrow ^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2 \text{He}
2

Radioactivité β−\beta^- — AA inchangé, ZZ augmente de 1. L'électron provient de 01n→11p+−10e^1_0 n \to ^1_1 p + ^0_{-1} e (pas du cortège) :

ZAX→Z+1AY+−10e^A_Z X \rightarrow ^{A}_{Z+1} Y + ^0_{-1} e
3

Radioactivité β+\beta^+ — noyaux avec excès de protons (généralement artificiels). Le positon provient de 11p→01n++10e^1_1 p \to ^1_0 n + ^0_{+1} e :

ZAX→Z−1AY++10e^A_Z X \rightarrow ^{A}_{Z-1} Y + ^0_{+1} e
4

Émission γ\gamma — le noyau fils excité Z′A′Y∗^{A'}_{Z'} Y^* se désexcite sans changer AA ni ZZ :

Z′A′Y∗→Z′A′Y+γ^{A'}_{Z'} Y^* \rightarrow ^{A'}_{Z'} Y + \gamma
⚠

Attention : vérifier systématiquement la conservation de AA ET de ZZ dans les deux membres de l'équation. L'émission γ\gamma seule ne modifie ni AA ni ZZ.

Énergie libérée dans une réaction nucléaire

Relation d'Einstein

Toute variation de masse Δm\Delta m correspond à une variation d'énergie ΔE=Δm⋅c2\Delta E = \Delta m \cdot c^2 avec c=3×108 m/sc = 3 \times 10^8\ \text{m/s}.

1

L'énergie libérée par une réaction nucléaire est calculée à partir de la perte de masse entre les produits et les réactifs :

W=(mavant−mapreˋs)⋅c2W = (m_{\text{avant}} - m_{\text{après}}) \cdot c^2
2

Si W>0W > 0 : la réaction libère de l'énergie. Si W<0W < 0 : la réaction absorbe de l'énergie.

3

Fission — un neutron lent frappe un noyau lourd (ex. 92235U^{235}_{92}\text{U}) :

01n+92235U→Z1A1X1+Z2A2X2+k⋅01n^1_0 n + ^{235}_{92}\text{U} \rightarrow ^{A_1}_{Z_1} X_1 + ^{A_2}_{Z_2} X_2 + k\cdot ^1_0 n
4

Chaque fission libère en moyenne 2,472{,}47 neutrons → réaction en chaîne. Contrôlée : centrale nucléaire. Non contrôlée : bombe atomique.

5

Fusion — union de deux noyaux légers (ex. deutérium + tritium). Nécessite T≈108 KT \approx 10^8\ \text{K} (fusion thermonucléaire, énergie solaire) :

12H+13H→24He+01n^2_1 H + ^3_1 H \rightarrow ^4_2 \text{He} + ^1_0 n
⚠

Attention : dans la fission, A+1=A1+A2+kA + 1 = A_1 + A_2 + k (le +1+1 vient du neutron incident). Ne jamais mélanger les unités : utiliser soit tout en kg et joules, soit tout en u et MeV.

Conversions d'unités & Courbe d'Aston

Unités fondamentales

En physique nucléaire, les masses sont en unité de masse atomique (u) et les énergies en MeV.

1

Définition de l'unité de masse atomique :

1 u=112 m(612C)=1,66×10−27 kg1\ \text{u} = \frac{1}{12}\ m(^{12}_6 C) = 1{,}66 \times 10^{-27}\ \text{kg}
2

Relation masse-énergie en unités nucléaires :

1 u×c2=931,5 MeV⇔1 u=931,5 MeV⋅c−21\ \text{u} \times c^2 = 931{,}5\ \text{MeV} \quad \Leftrightarrow \quad 1\ \text{u} = 931{,}5\ \text{MeV}\cdot c^{-2}
3

Conversion de l'électronvolt :

1 eV=1,6×10−19 J1 MeV=1,6×10−13 J1\ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{J} \qquad 1\ \text{MeV} = 1{,}6 \times 10^{-13}\ \text{J}
4

Courbe d'Aston : représente −El/A=f(A)-E_l/A = f(A). Le minimum de la courbe correspond au noyau le plus stable (2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}, El/A=8,8 MeVE_l/A = 8{,}8\ \text{MeV}). Les noyaux les plus stables ont El/AE_l/A entre 7,87{,}8 et 8,8 MeV8{,}8\ \text{MeV} pour A≈60A \approx 60.

Fission : noyaux lourds (A>200A > 200) se cassent → El/AE_l/A augmente → libère de l'énergie. Fusion : noyaux légers (A<10A < 10) s'unissent → El/AE_l/A augmente → libère de l'énergie.

⚠

Erreur fréquente : appliquer E=mc2E = mc^2 avec mm en u et EE en joules sans conversion. Toujours vérifier la cohérence des unités avant le calcul.

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