Grandeurs sinusoïdales & Vecteurs de Fresnel

Écrire l'équation de la bobine : $u_b(t) = L\dfrac{di}{dt} + r\,i(t)$

Calculer la dérivée : $\dfrac{di}{dt} = I_{max}\omega\cos(\omega t) = I_{max}\omega\sin\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$

Identifier les deux composantes : $u_r(t) = r\,I_{max}\sin(\omega t)$ (en phase avec $i$) et $u_L(t) = L\omega\,I_{max}\sin\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ (en avance de $\dfrac{\pi}{2}$)

Construction de Fresnel à $t = 0$ : $\vec{U}_{r,max}$ selon l'axe $Ox$ (module $rI_{max}$), $\vec{U}_{L,max}$ selon $Oy$ (module $L\omega I_{max}$). La résultante $\vec{U}_{b,max}$ est leur somme vectorielle.

Module de la tension maximale (théorème de Pythagore) :

Phase initiale de $u_b$ par rapport à $i$ :

Loi des tensions : $u = u_R + u_L + u_C$

Tensions sur chaque dipôle : $u_R = RI_m\sin(\omega t + \varphi_i)$, $u_L = L\omega I_m\sin\!\left(\omega t + \varphi_i + \dfrac{\pi}{2}\right)$, $u_C = \dfrac{I_m}{C\omega}\sin\!\left(\omega t + \varphi_i - \dfrac{\pi}{2}\right)$

Construction de Fresnel : $\vec{U}_{Rm}$ selon $\vec{i}$ (module $RI_m$), $\vec{U}_{Lm}$ en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ (module $L\omega I_m$), $\vec{U}_{Cm}$ en retard de $\dfrac{\pi}{2}$ (module $\dfrac{I_m}{C\omega}$).

Résultante (Pythagore) : $U_m = \sqrt{(RI_m)^2 + \left(L\omega I_m - \dfrac{I_m}{C\omega}\right)^2}$

Déphasage de $u$ par rapport à $i$ :

Lecture graphique : $U_{Rm} = RI_m \Rightarrow R = \dfrac{U_{Rm}}{I_m}$, $U_{Lm} = L\omega I_m \Rightarrow L = \dfrac{U_{Lm}}{\omega I_m}$, $U_{Cm} = \dfrac{I_m}{C\omega} \Rightarrow C = \dfrac{I_m}{\omega U_{Cm}}$

Définir le déphasage de $u_2$ par rapport à $u_1$ :

Interpréter le signe : si $\Delta\varphi > 0$, alors $u_2$ est en avance sur $u_1$. Si $\Delta\varphi < 0$, alors $u_2$ est en retard sur $u_1$.

Lecture sur oscilloscope : mesurer le décalage temporel $\Delta t$ entre deux passages par zéro (dans le même sens). Calculer $\Delta\varphi = \omega \Delta t = \dfrac{2\pi}{T}\Delta t$.

Sur le diagramme de Fresnel : l'angle entre $\vec{U}_{2m}$ et $\vec{U}_{1m}$ (mesuré dans le sens trigonométrique) donne $\Delta\varphi$.

Cas du condensateur : $i$ est en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ sur $u_C$, donc $\Delta\varphi(i/u_C) = +\dfrac{\pi}{2}$. Cas de la bobine pure : $u_L$ est en avance de $\dfrac{\pi}{2}$ sur $i$, donc $\Delta\varphi(u_L/i) = +\dfrac{\pi}{2}$.