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Ondes mécaniques progressives

Résumé complet

Définition

Une onde est un phénomène résultant de la propagation d'une succession d'ébranlements dans un milieu donné sans transport de matière. Elle transporte de l'énergie sans déplacer la matière.

Onde transversale : déplacement ⊥\perp direction de propagation (ex : corde). Onde longitudinale : déplacement ∥\parallel direction de propagation (ex : ressort, son).

v=dΔtλ=vT=vNv = \frac{d}{\Delta t} \qquad \lambda = vT = \frac{v}{N}

Équation horaire

Source SS : yS(t)=asin⁡ ⁣(2πTt+φS)y_S(t) = a\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T}t + \varphi_S\right). Point MM d'abscisse xx (valide pour t≥x/vt \geq x/v) :

yM(t)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πλx+φS)y_M(t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \varphi_S\right)

Déphasage source–point M

La source est toujours en avance sur MM :

Δφ=φS−φM=2πxλ≥0\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M = \frac{2\pi x}{\lambda} \geq 0

En phase : x=kλx = k\lambda (Δφ=2kπ\Delta\varphi = 2k\pi). Opposition : x=(2k+1)λ2x = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}. Quadrature : x=(4k+1)λ4x = (4k+1)\dfrac{\lambda}{4} (Δφ=π2+2kπ\Delta\varphi = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi).

⚠

Attention : yM(t)=0y_M(t) = 0 pour t<x/vt < x/v (le front d'onde n'est pas encore arrivé). Le front d'onde à l'instant t1t_1 est à xf=v t1x_f = v\,t_1.

Établir l'équation horaire d'un point M

Données

Source SS en x=0x = 0, point MM d'abscisse xM>0x_M > 0, célérité vv, période TT, longueur d'onde λ=vT\lambda = vT. Phase initiale φS\varphi_S connue.

1

Écrire l'équation de la source : yS(t)=asin⁡ ⁣(2πTt+φS)y_S(t) = a\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T}t + \varphi_S\right).

2

Le point MM reproduit le mouvement de SS avec un retard τ=xM/v\tau = x_M / v. On remplace tt par (t−τ)(t - \tau) :

yM(t)=asin⁡ ⁣(2πT(t−xMv)+φS)y_M(t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x_M}{v}\right) + \varphi_S\right)
3

Utiliser λ=vT\lambda = vT, donc xMv=xM⋅Tλ\dfrac{x_M}{v} = \dfrac{x_M \cdot T}{\lambda}, ce qui donne 2πT⋅xMv=2πxMλ\dfrac{2\pi}{T} \cdot \dfrac{x_M}{v} = \dfrac{2\pi x_M}{\lambda} :

yM(t)=asin⁡ ⁣(2πTt−2πxMλ+φS)pour t≥xMvy_M(t) = a\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi x_M}{\lambda} + \varphi_S\right) \quad \text{pour } t \geq \frac{x_M}{v}
4

Déterminer φS\varphi_S : à t=0t = 0, si yS(0)=0y_S(0) = 0 et la source part vers les y>0y > 0, alors φS=0\varphi_S = 0. Si elle part vers les y<0y < 0, alors φS=π\varphi_S = \pi.

⚠

Erreur fréquente : φS\varphi_S ne peut valoir que 00 ou π\pi. Pour MM, la phase initiale se lit à t=xM/vt = x_M/v (instant où MM commence à vibrer), pas à t=0t = 0.

Déphasage et états vibratoires

Rappel

Source SS en x=0x=0, point MM en xMx_M. Phase de SS : φS\varphi_S. Phase de MM : φM=−2πxMλ+φS\varphi_M = -\dfrac{2\pi x_M}{\lambda} + \varphi_S.

Δφ=φS−φM=2π xMλ\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M = \frac{2\pi\, x_M}{\lambda}
1

En phase : MM et SS vibrent identiquement ⇒Δφ=2kπ\Rightarrow \Delta\varphi = 2k\pi (k∈N∗k \in \mathbb{N}^*).

xM=kλ(k=1, 2, 3, …)x_M = k\lambda \quad (k = 1,\, 2,\, 3,\, \ldots)
2

Opposition de phase : Δφ=(2k+1)π\Delta\varphi = (2k+1)\pi.

xM=(2k+1)λ2(k=0, 1, 2, …)x_M = (2k+1)\frac{\lambda}{2} \quad (k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots)
3

Quadrature de phase (retard de π/2\pi/2) : Δφ=π2+2kπ\Delta\varphi = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi.

xM=(4k+1)λ4(k=0, 1, 2, …)x_M = (4k+1)\frac{\lambda}{4} \quad (k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots)
⚠

Attention : Δφ=φS−φM\Delta\varphi = \varphi_S - \varphi_M est toujours positif (la source est en avance sur MM). Ne pas confondre avec φM−φS\varphi_M - \varphi_S qui est négatif.

Profil spatial et front d'onde

Contexte

On fixe t=t1t = t_1 et on étudie yy en fonction de xx. La célérité est vv, la longueur d'onde λ\lambda, la phase initiale φS\varphi_S.

1

Calculer la position du front d'onde à t1t_1 : au-delà de xfx_f, l'élongation est nulle.

xf=v t1x_f = v\,t_1
2

Écrire le profil spatial (équation de la corde à t=t1t = t_1) pour 0≤x≤xf0 \leq x \leq x_f :

y(x)=asin⁡ ⁣(−2πxλ+2πt1T+φS)y(x) = a\sin\!\left(-\frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi t_1}{T} + \varphi_S\right)
3

Pour x>xfx > x_f : y(x)=0y(x) = 0 (le front d'onde n'est pas encore passé).

4

Célérité à partir de deux profils : si le front passe de xf1x_{f_1} à xf2x_{f_2} entre t1t_1 et t2t_2 :

v=xf2−xf1t2−t1v = \frac{x_{f_2} - x_{f_1}}{t_2 - t_1}
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En déduire NN : N=vλN = \dfrac{v}{\lambda}. Vérifier la cohérence : t1=xf1/vt_1 = x_{f_1}/v et t2=xf2/vt_2 = x_{f_2}/v.

⚠

Erreur fréquente : confondre la célérité vv (vitesse de propagation de l'onde) avec la vitesse d'un point du milieu. La célérité ne dépend que du milieu, pas de l'amplitude ni de la fréquence.

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