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Oscillations d'un pendule élastique

Résumé complet — Oscillations libres & forcées

x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)ω0=Km=2πT0x(t) = X_m \sin(\omega_0 t + \varphi_x) \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}} = \frac{2\pi}{T_0}

Oscillations libres non amorties : amplitude XmX_m constante, énergie conservée E=12KXm2=csteE = \frac{1}{2}KX_m^2 = \text{cste} | Oscillations amorties : amplitude décroissante, T>T0T > T_0, énergie diminue

v(t)=Xmω0cos⁡(ω0t+φx)Vm=Xmω0v2=ω02(Xm2−x2)v(t) = X_m\omega_0 \cos(\omega_0 t + \varphi_x) \qquad V_m = X_m\omega_0 \qquad v^2 = \omega_0^2(X_m^2 - x^2)
EC=12mv2Epe=12Kx2E=EC+Epe=12KXm2E_C = \frac{1}{2}mv^2 \qquad E_{pe} = \frac{1}{2}Kx^2 \qquad E = E_C + E_{pe} = \frac{1}{2}KX_m^2

Oscillations forcées : le résonateur oscille à la fréquence de l'excitateur NeN_e | Équation différentielle : mx¨+hx˙+Kx=Fmsin⁡(ωt)m\ddot{x} + h\dot{x} + Kx = F_m\sin(\omega t)

Xm=Fmh2ω2+(K−mω2)2ωr2=ω02−h22m2X_m = \frac{F_m}{\sqrt{h^2\omega^2 + (K - m\omega^2)^2}} \qquad \omega_r^2 = \omega_0^2 - \frac{h^2}{2m^2}

Résonance d'élongation : XmX_m maximal à ωr<ω0\omega_r < \omega_0, existe si h<hL=2Kmh < h_L = \sqrt{2Km} | Résonance de vitesse : VmV_m maximal à ω=ω0\omega = \omega_0 exactement, Vm=Fm/hV_m = F_m/h

Analogie électromécanique : m↔Lm \leftrightarrow L, h↔Rh \leftrightarrow R, K↔1/CK \leftrightarrow 1/C, v↔iv \leftrightarrow i, F↔uF \leftrightarrow u, Xm↔qmX_m \leftrightarrow q_m

Équation différentielle — Oscillations libres non amorties

Système

Solide S de masse mm fixé à un ressort de raideur KK. Pas de frottement. Position d'équilibre : origine. Axe OxOx horizontal.

1

Appliquer le théorème du centre d'inertie sur l'axe OxOx : ∑Fext=ma\sum F_{ext} = ma

2

La seule force selon OxOx est la tension du ressort : T=−KxT = -Kx. Donc : −Kx=mx¨-Kx = m\ddot{x}

md2xdt2+Kx=0⟹d2xdt2+Kmx=0m\frac{d^2x}{dt^2} + Kx = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{K}{m}x = 0
3

Identifier la pulsation propre : Km=ω02\dfrac{K}{m} = \omega_0^2, donc ω0=Km\omega_0 = \sqrt{\dfrac{K}{m}}

4

La solution générale est sinusoïdale :

x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)x(t) = X_m \sin(\omega_0 t + \varphi_x)
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Déterminer XmX_m et φx\varphi_x par les conditions initiales : x(0)=Xmsin⁡φx=x0x(0) = X_m\sin\varphi_x = x_0 et v(0)=Xmω0cos⁡φx=v0v(0) = X_m\omega_0\cos\varphi_x = v_0

⚠

Attention : ω0=K/m\omega_0 = \sqrt{K/m} ne dépend ni de l'amplitude ni des conditions initiales. Seuls XmX_m et φx\varphi_x en dépendent.

Énergies — Oscillations libres non amorties

Données

Élongation : x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)x(t) = X_m\sin(\omega_0 t + \varphi_x), vitesse : v(t)=Xmω0cos⁡(ω0t+φx)v(t) = X_m\omega_0\cos(\omega_0 t + \varphi_x), avec Vm=Xmω0V_m = X_m\omega_0

1

Énergie potentielle élastique : Epe=12Kx2=12KXm2sin⁡2(ω0t+φx)E_{pe} = \dfrac{1}{2}Kx^2 = \dfrac{1}{2}KX_m^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi_x)

2

Énergie cinétique : EC=12mv2=12mXm2ω02cos⁡2(ω0t+φx)E_C = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}mX_m^2\omega_0^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi_x)

3

Or mω02=Km\omega_0^2 = K, donc EC=12KXm2cos⁡2(ω0t+φx)E_C = \dfrac{1}{2}KX_m^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi_x)

4

Énergie mécanique totale : E=EC+Epe=12KXm2[cos⁡2(ω0t+φx)+sin⁡2(ω0t+φx)]E = E_C + E_{pe} = \dfrac{1}{2}KX_m^2\left[\cos^2(\omega_0 t + \varphi_x) + \sin^2(\omega_0 t + \varphi_x)\right]

E=12KXm2=12mVm2=ConstanteE = \frac{1}{2}KX_m^2 = \frac{1}{2}mV_m^2 = \text{Constante}
5

Relation entre vv et xx : en combinant les expressions, on obtient v2=ω02(Xm2−x2)v^2 = \omega_0^2(X_m^2 - x^2), soit v2=−ω02x2+Vm2v^2 = -\omega_0^2 x^2 + V_m^2

⚠

Erreur fréquente : EpeE_{pe} et ECE_C oscillent à la période T0/2T_0/2 (pas T0T_0). L'énergie mécanique EE, elle, reste constante (régime non amorti).

Équation différentielle — Oscillations forcées

Système

Solide S soumis à : ressort (T=−KxT = -Kx), frottement fluide (f=−hvf = -hv), force excitatrice F=Fmsin⁡(ωt)F = F_m\sin(\omega t). Pulsation propre : ω0=K/m\omega_0 = \sqrt{K/m}.

1

Théorème du centre d'inertie sur OxOx : −Kx−hx˙+Fmsin⁡(ωt)=mx¨-Kx - h\dot{x} + F_m\sin(\omega t) = m\ddot{x}

md2xdt2+hdxdt+Kx=Fmsin⁡(ωt)m\frac{d^2x}{dt^2} + h\frac{dx}{dt} + Kx = F_m\sin(\omega t)
2

Solution particulière : x(t)=Xmsin⁡(ωt+φx)x(t) = X_m\sin(\omega t + \varphi_x), le résonateur oscille à la fréquence de l'excitateur NeN_e.

3

Amplitude des oscillations (cas général) :

Xm=Fmh2ω2+(K−mω2)2X_m = \frac{F_m}{\sqrt{h^2\omega^2 + (K - m\omega^2)^2}}
4

Déphasage : tan⁡(φx)=hωmω2−K\tan(\varphi_x) = \dfrac{h\omega}{m\omega^2 - K} avec φx∈]−π ; 0[\varphi_x \in \left]-\pi\,;\,0\right[

ω<ω0\omega < \omega_0 : −π/2<φx<0-\pi/2 < \varphi_x < 0 | ω=ω0\omega = \omega_0 : φx=−π/2\varphi_x = -\pi/2 | ω>ω0\omega > \omega_0 : −π<φx<−π/2-\pi < \varphi_x < -\pi/2

⚠

Attention : le résonateur oscille toujours à la fréquence de l'excitateur NeN_e, jamais à sa fréquence propre N0N_0.

Résonance et analogie électromécanique

1

La résonance d'élongation correspond au maximum de XmX_m, c'est-à-dire au minimum de f(ω)=h2ω2+(K−mω2)2f(\omega) = h^2\omega^2 + (K - m\omega^2)^2. On pose f′(ω)=0f'(\omega) = 0.

ωr2=ω02−h22m2Nr2=N02−h28π2m2\omega_r^2 = \omega_0^2 - \frac{h^2}{2m^2} \qquad N_r^2 = N_0^2 - \frac{h^2}{8\pi^2 m^2}
2

À la résonance d'élongation : Xmmax⁡=Fmhω0X_m^{\max} = \dfrac{F_m}{h\omega_0} (valeur approchée pour faible amortissement)

3

Condition d'existence de la résonance : ωr2>0⇒ω02>h22m2\omega_r^2 > 0 \Rightarrow \omega_0^2 > \dfrac{h^2}{2m^2}

h<hL=2Kmh < h_L = \sqrt{2Km}

Résonance d'élongation : XmX_m maximal à ωr<ω0\omega_r < \omega_0 | Résonance de vitesse : Vm=Fm/hV_m = F_m/h maximal à ω=ω0\omega = \omega_0 exactement, φx=−π/2\varphi_x = -\pi/2

Analogie électromécanique : m↔Lm \leftrightarrow L | h↔Rh \leftrightarrow R | K↔1/CK \leftrightarrow 1/C | v↔iv \leftrightarrow i | F↔uF \leftrightarrow u | Xm↔qmX_m \leftrightarrow q_m

⚠

Erreur fréquente : confondre résonance d'élongation (ωr<ω0\omega_r < \omega_0) et résonance de vitesse (ω=ω0\omega = \omega_0). Ce sont deux phénomènes distincts.

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