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Oscillations mécaniques

Pendule élastique — Résumé complet

x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)v(t)=ω0Xmcos⁡(ω0t+φx)x(t) = X_m \sin(\omega_0 t + \varphi_x) \qquad v(t) = \omega_0 X_m \cos(\omega_0 t + \varphi_x)

Pulsation propre : ω0=K/m\omega_0 = \sqrt{K/m} — indépendante de l'amplitude et des conditions initiales. Relations : ω0=2π/T0=2πN0\omega_0 = 2\pi/T_0 = 2\pi N_0

Conditions initiales : x(0)=Xmsin⁡φx=x0x(0) = X_m \sin\varphi_x = x_0 et v(0)=Xmω0cos⁡φx=v0v(0) = X_m \omega_0 \cos\varphi_x = v_0. Amplitude de vitesse : Vm=Xmω0V_m = X_m \omega_0

E=EC+Epe=12mv2+12Kx2=12KXm2=12mVm2=ConstanteE = E_C + E_{pe} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 = \frac{1}{2}KX_m^2 = \frac{1}{2}mV_m^2 = \text{Constante}

Régimes amortis : pseudopériodique (T>T0T > T_0, faible amortissement), critique (retour le plus rapide sans oscillation), apériodique (retour lent sans oscillation)

Oscillations forcées : le résonateur oscille à la fréquence de l'excitateur NeN_e. Amplitude : Xm=Fm/h2ω2+(K−mω2)2X_m = F_m / \sqrt{h^2\omega^2 + (K - m\omega^2)^2}

Résonance d'élongation : ωr2=ω02−h2/(2m2)\omega_r^2 = \omega_0^2 - h^2/(2m^2), donc Nr<N0N_r < N_0. Existe si h<hL=2Kmh < h_L = \sqrt{2Km}. À la résonance de vitesse (ω=ω0\omega = \omega_0) : Vm=Fm/hV_m = F_m/h

⚠

Attention — EpeE_{pe} et ECE_C oscillent à la période T0/2T_0/2. En régime amorti, EE diminue avec le temps (non conservatif).

Équation différentielle du mouvement

Système

Solide S de masse mm fixé à un ressort de raideur KK (masse négligeable). Axe xx orienté dans la direction du ressort. Position d'équilibre : origine.

1

Appliquer le théorème du centre d'inertie selon l'axe xx : ∑Fext=ma\sum F_{ext} = ma

2

La seule force selon xx est la tension du ressort : T=−KxT = -Kx (force de rappel, signe négatif obligatoire)

3

On écrit : −Kx=mx¨-Kx = m\ddot{x}, soit mx¨+Kx=0m\ddot{x} + Kx = 0, puis on divise par mm :

x¨+Kmx=0\ddot{x} + \frac{K}{m}x = 0
4

On pose ω02=K/m\omega_0^2 = K/m. La solution générale est x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)x(t) = X_m \sin(\omega_0 t + \varphi_x). Vérification : x¨=−ω02x\ddot{x} = -\omega_0^2 x, donc −ω02x+ω02x=0-\omega_0^2 x + \omega_0^2 x = 0 ✓

x¨+ω02x=0ω0=Km\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}}
5

Forme graphique : x¨=f(x)\ddot{x} = f(x) est une droite de pente α=−ω02\alpha = -\omega_0^2 passant par l'origine.

⚠

Erreur fréquente — La tension du ressort s'écrit T=−KxT = -Kx et non T=+KxT = +Kx. Le signe négatif traduit le caractère de force de rappel.

Conditions initiales et vitesse instantanée

Données

À t=0t = 0 : élongation x0x_0 et vitesse v0v_0 connues. Loi : x(t)=Xmsin⁡(ω0t+φx)x(t) = X_m \sin(\omega_0 t + \varphi_x)

1

Dériver x(t)x(t) pour obtenir la vitesse : v(t)=dxdt=ω0Xmcos⁡(ω0t+φx)v(t) = \dfrac{dx}{dt} = \omega_0 X_m \cos(\omega_0 t + \varphi_x)

2

Appliquer les conditions initiales en t=0t = 0 :

x(0)=Xmsin⁡φx=x0v(0)=Xmω0cos⁡φx=v0x(0) = X_m \sin\varphi_x = x_0 \qquad v(0) = X_m \omega_0 \cos\varphi_x = v_0
3

Calculer XmX_m en utilisant sin⁡2φx+cos⁡2φx=1\sin^2\varphi_x + \cos^2\varphi_x = 1 : x02+(v0/ω0)2=Xm2x_0^2 + (v_0/\omega_0)^2 = X_m^2

Xm=x02+v02ω02X_m = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega_0^2}}
4

Déterminer φx\varphi_x : tan⁡φx=x0ω0/v0\tan\varphi_x = x_0 \omega_0 / v_0. Vérifier le signe de sin⁡φx\sin\varphi_x et cos⁡φx\cos\varphi_x pour lever l'ambiguïté.

5

Relation v2=f(x2)v^2 = f(x^2) : En élevant au carré x=Xmsin⁡(ω0t+φx)x = X_m\sin(\omega_0 t+\varphi_x) et v=ω0Xmcos⁡(ω0t+φx)v = \omega_0 X_m\cos(\omega_0 t+\varphi_x), puis en additionnant :

v2=ω02(Xm2−x2)v^2 = \omega_0^2(X_m^2 - x^2)
⚠

Attention — La vitesse est en quadrature avance sur l'élongation : φv=φx+π/2\varphi_v = \varphi_x + \pi/2. Le graphe v2=f(x2)v^2 = f(x^2) est une droite de pente −ω02-\omega_0^2.

Bilan énergétique — Régime libre non amorti

1

Énergie potentielle élastique : Epe=12Kx2=12KXm2sin⁡2(ω0t+φx)E_{pe} = \dfrac{1}{2}Kx^2 = \dfrac{1}{2}KX_m^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi_x)

2

Utiliser sin⁡2α=12(1−cos⁡2α)\sin^2\alpha = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha) :

Epe=14KXm2(1−cos⁡(2ω0t+2φx))peˊriode T0/2E_{pe} = \frac{1}{4}KX_m^2\left(1 - \cos(2\omega_0 t + 2\varphi_x)\right) \quad \text{période } T_0/2
3

Énergie cinétique : EC=12mv2=12mω02Xm2cos⁡2(ω0t+φx)E_C = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}m\omega_0^2 X_m^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi_x). Sachant K=mω02K = m\omega_0^2 :

EC=14KXm2(1+cos⁡(2ω0t+2φx))peˊriode T0/2E_C = \frac{1}{4}KX_m^2\left(1 + \cos(2\omega_0 t + 2\varphi_x)\right) \quad \text{période } T_0/2
4

Énergie mécanique : E=EC+EpeE = E_C + E_{pe}. Les termes en cosinus se compensent :

E=12KXm2=12mVm2=ConstanteE = \frac{1}{2}KX_m^2 = \frac{1}{2}mV_m^2 = \text{Constante}
⚠

Erreur fréquente — EpeE_{pe} et ECE_C oscillent à la période T0/2T_0/2 (et non T0T_0). En régime amorti, EE diminue strictement avec le temps.

Oscillations forcées — Résonance

Contexte

Un excitateur impose une force f(t)=Fmsin⁡(ωt)f(t) = F_m\sin(\omega t) au résonateur (masse mm, raideur KK, coefficient de frottement hh). Le résonateur oscille à la fréquence NeN_e de l'excitateur.

1

L'équation différentielle du mouvement forcé est : mx¨+hx˙+Kx=Fmsin⁡(ωt)m\ddot{x} + h\dot{x} + Kx = F_m\sin(\omega t)

2

En régime permanent, la solution est x(t)=Xmsin⁡(ωt+φx)x(t) = X_m\sin(\omega t + \varphi_x) avec :

Xm=Fmh2ω2+(K−mω2)2X_m = \frac{F_m}{\sqrt{h^2\omega^2 + (K - m\omega^2)^2}}
3

Déphasage : tan⁡φx=hωmω2−K\tan\varphi_x = \dfrac{h\omega}{m\omega^2 - K}. Si ω<ω0\omega < \omega_0 : 0>φx>−π/20 > \varphi_x > -\pi/2 ; si ω>ω0\omega > \omega_0 : −π/2>φx>−π-\pi/2 > \varphi_x > -\pi ; si ω=ω0\omega = \omega_0 : φx=−π/2\varphi_x = -\pi/2

4

Résonance d'élongation (XmX_m maximal) : f′(ω)=0f'(\omega) = 0 donne ωr2=ω02−h2/(2m2)\omega_r^2 = \omega_0^2 - h^2/(2m^2), donc Nr<N0N_r < N_0

ωr2=ω02−h22m2Nr2=N02−h28π2m2\omega_r^2 = \omega_0^2 - \frac{h^2}{2m^2} \qquad N_r^2 = N_0^2 - \frac{h^2}{8\pi^2 m^2}
5

Condition d'existence : ωr2>0⇒h<hL=2Km\omega_r^2 > 0 \Rightarrow h < h_L = \sqrt{2Km}. Résonance de vitesse (VmV_m maximal) : ω=ω0\omega = \omega_0 exactement, Vm=Fm/hV_m = F_m/h

Analogie électromécanique : h↔Rh \leftrightarrow R, m↔Lm \leftrightarrow L, K↔1/CK \leftrightarrow 1/C, v↔iv \leftrightarrow i, F↔uF \leftrightarrow u, Xm↔qmX_m \leftrightarrow q_m

⚠

Erreur fréquente — La résonance d'élongation se produit à Nr<N0N_r < N_0 (strictement inférieur). La résonance de vitesse se produit exactement à N0N_0. Ne pas confondre les deux.

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