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Dipôle RC

Condensateur, charge, décharge, énergie

Définitions clés

Condensateur : deux armatures conductrices séparées par un diélectrique. Convention récepteur : courant ii entre par l'armature A, tension uABu_{AB}.

qA=C⋅uABi(t)=dqdtC=εSeq_A = C \cdot u_{AB} \qquad i(t) = \frac{dq}{dt} \qquad C = \varepsilon \frac{S}{e}
EC=12Cu2=12q2C=12quE_C = \frac{1}{2} C u^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} q u

Constante de temps

Temps caractéristique de charge/décharge. Régime permanent atteint à t≈5τt \approx 5\tau.

τ=RC\tau = RC

Charge (uC(0)=0u_C(0)=0, uC(+∞)=Eu_C(+\infty)=E) : uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), i(t)=ERe−t/τi(t) = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}, I0=ERI_0 = \dfrac{E}{R}

Décharge (uC(0)=Eu_C(0)=E, uC(+∞)=0u_C(+\infty)=0) : uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,e^{-t/\tau}, i(t)=−ERe−t/τi(t) = -\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}

Détermination graphique de $\tau$

Méthode 1 : tangente à l'origine → intersection avec uC=Eu_C = E donne t=τt = \tau. Méthode 2 : lire uC=0,63 Eu_C = 0{,}63\,E → l'abscisse correspondante est τ\tau.

⚠

Attention : I0=E/RI_0 = E/R (pas E/(RC)E/(RC)). Le courant de décharge est négatif : i=−E/R⋅e−t/τi = -E/R\cdot e^{-t/\tau}. Le condensateur n'atteint jamais exactement EE (asymptote).

Charge d'un dipôle RC

Contexte

Circuit série : générateur de f.é.m. EE, résistance RR, condensateur CC (initialement déchargé). À t=0t = 0, on ferme le circuit. Convention récepteur : ii entre par l'armature A.

1

Loi des mailles : uR+uC=Eu_R + u_C = E

2

Expression de uRu_R : uR=R i=R C duCdtu_R = R\,i = R\,C\,\dfrac{du_C}{dt}

3

Substitution dans la loi des mailles :

duCdt+uCτ=Eτavec τ=RC\frac{du_C}{dt} + \frac{u_C}{\tau} = \frac{E}{\tau} \qquad \text{avec } \tau = RC
4

Solution (conditions initiales uC(0)=0u_C(0) = 0) :

uC(t)=E(1−e−t/τ)u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)
5

Expressions déduites : uR(t)=E e−t/τu_R(t) = E\,e^{-t/\tau}, i(t)=ER e−t/τ\quad i(t) = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}, q(t)=CE(1−e−t/τ)\quad q(t) = CE\left(1-e^{-t/\tau}\right)

Conditions limites — à t=0t=0 : uC=0u_C = 0, uR=Eu_R = E, i=E/Ri = E/R — à t→+∞t \to +\infty : uC=Eu_C = E, uR=0u_R = 0, i=0i = 0

⚠

Erreur fréquente : confondre I0=E/RI_0 = E/R avec E/(RC)E/(RC). La constante de temps au=RC au = RC s'exprime en secondes car Ω⋅F=s\Omega \cdot F = s.

Décharge d'un dipôle RC

Contexte

Le condensateur est initialement chargé : uC(0)=Eu_C(0) = E. On déconnecte le générateur. Le condensateur se décharge dans RR. Convention récepteur maintenue.

1

Loi des mailles (sans générateur) : uR+uC=0u_R + u_C = 0

2

Expression de uRu_R : uR=R i=R C duCdtu_R = R\,i = R\,C\,\dfrac{du_C}{dt}

3

Équation différentielle :

duCdt+uCτ=0avec τ=RC\frac{du_C}{dt} + \frac{u_C}{\tau} = 0 \qquad \text{avec } \tau = RC
4

Solution (condition initiale uC(0)=Eu_C(0) = E) :

uC(t)=E e−t/τu_C(t) = E\,e^{-t/\tau}
5

Courant de décharge : i(t)=C duCdt=−ER e−t/τi(t) = C\,\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau} — le signe négatif traduit le sens opposé à la charge.

6

Tension aux bornes de RR : uR(t)=R i(t)=−E e−t/τu_R(t) = R\,i(t) = -E\,e^{-t/\tau} (ou uR=−uCu_R = -u_C d'après la loi des mailles).

⚠

Attention : i(t)<0i(t) < 0 pendant toute la décharge (sens opposé à la convention). uC(t)u_C(t) reste positif et ne passe jamais en négatif. Le régime permanent est atteint à t≈5τt \approx 5\tau.

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