Réactions nucléaires

Radioactivité α — le noyau père perd 4 nucléons et 2 protons : $^A_Z X \to ^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2\text{He}$. Concerne les noyaux lourds ($A > 200$). Exemple : $^{210}_{84}\text{Po} \to ^{206}_{82}\text{Pb} + ^4_2\text{He}$

Radioactivité β⁻ — un neutron se transforme en proton : $^1_0 n \to ^1_1 p + ^0_{-1}\text{e}$. L'électron est émis, $A$ ne change pas, $Z$ augmente de 1 : $^A_Z X \to ^{A}_{Z+1} Y + ^0_{-1}\text{e}$. Exemple : $^{14}_6\text{C} \to ^{14}_7\text{N} + ^0_{-1}\text{e}$

Radioactivité β⁺ — un proton se transforme en neutron : $^1_1 p \to ^1_0 n + ^0_{+1}\text{e}$. Le positon est émis, $A$ ne change pas, $Z$ diminue de 1 : $^A_Z X \to ^{A}_{Z-1} Y + ^0_{+1}\text{e}$. Exemple : $^{30}_{15}\text{P} \to ^{30}_{14}\text{Si} + ^0_{+1}\text{e}$

Émission γ — accompagne une désintégration α ou β quand le noyau fils est dans un état excité. Ni $A$ ni $Z$ ne changent : $^{A}_{Z} Y^* \to ^{A}_{Z} Y + \gamma$. L'énergie du photon : $W = h\nu$.

Le nombre de désintégrations pendant $dt$ est proportionnel à $N$ et à $dt$ : $dN = -\lambda N \, dt$ (le signe $-$ traduit la diminution de $N$).

On obtient l'équation différentielle : $\dfrac{dN}{dt} + \lambda N = 0$

La solution est : $N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$. De même pour la masse : $m(t) = m_0 \, e^{-\lambda t}$ avec $m = \dfrac{N}{N_A} M$ et $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$.

Période radioactive $T$ : temps au bout duquel la moitié des noyaux s'est désintégrée. On pose $N(T) = \dfrac{N_0}{2}$ : $\dfrac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T} \Rightarrow e^{\lambda T} = 2 \Rightarrow \lambda T = \ln 2$

Formes logarithmiques utiles pour la datation : $\ln N = -\lambda t + \ln N_0$ et $\ln \dfrac{N_0}{N} = \lambda t$, donc $t = \dfrac{1}{\lambda} \ln \dfrac{N_0}{N} = \dfrac{T}{\ln 2} \ln \dfrac{N_0}{N}$

Par définition : $A(t) = -\dfrac{dN}{dt}$. Or $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N(t)$, donc $A(t) = \lambda N(t)$.

En substituant $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ : $A(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t}$ avec $A_0 = \lambda N_0$.

Datation au carbone 14 ($T = 5730$ ans) : un être vivant maintient une activité $A_0$ constante. À sa mort, l'activité décroît. On mesure $A(t)$ et on calcule : $t = \dfrac{T}{\ln 2} \ln \dfrac{A_0}{A(t)}$

Uranium–Plomb : la désintégration $^{238}_{92}\text{U} \to ^{206}_{82}\text{Pb}$ permet de dater les roches anciennes ($T = 4{,}5 \times 10^9$ ans).

Fission : un neutron frappe un noyau lourd qui se divise en deux fragments et libère $k$ neutrons. Équation générale : $^1_0 n + ^A_Z X \to ^{A_1}_{Z_1} X_1 + ^{A_2}_{Z_2} X_2 + k\,^1_0 n$

Conservation pour la fission : $Z = Z_1 + Z_2$ et $A + 1 = A_1 + A_2 + k$ (le $+1$ vient du neutron incident). Exemple : $^1_0 n + ^{235}_{92}\text{U} \to ^{94}_{38}\text{Sr} + ^{140}_{54}\text{Xe} + 2\,^1_0 n$

Chaque fission libère en moyenne $2{,}47$ neutrons → réaction en chaîne. Non contrôlée : bombe atomique. Contrôlée : centrale nucléaire.

Fusion : deux noyaux légers s'unissent. Nécessite $T \approx 10^8\,\text{K}$ (fusion thermonucléaire). Exemple : $^2_1\text{H} + ^3_1\text{H} \to ^4_2\text{He} + ^1_0 n$ (origine de l'énergie solaire).

Énergie libérée : la perte de masse $\Delta m = m_{\text{avant}} - m_{\text{après}}$ est convertie en énergie selon Einstein.