MonBacGPT

Bobine et Dipôle RL

Résumé complet du chapitre

La bobine réelle $(L, r)$

Dipôle constitué d'un enroulement de fil conducteur. Paramètres : inductance LL (en Henry, H\text{H}) et résistance interne rr. En régime permanent, se comporte comme une simple résistance rr.

ub=Ldidt+rie=−Ldidtu_b = L\frac{di}{dt} + ri \qquad e = -L\frac{di}{dt}

Loi de Lenz : Le courant induit s'oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. La f.é.m. d'auto-induction e=−Ldidte = -L\dfrac{di}{dt} (signe −- obligatoire).

Dipôle RL série — Établissement du courant

Circuit : générateur EE, résistance RR, bobine (L,r)(L, r). Loi des mailles : E=uR+ubE = u_R + u_b

Ldidt+(R+r) i=E⇒i(t)=I0 ⁣(1−e−t/τ)L\frac{di}{dt} + (R+r)\,i = E \quad \Rightarrow \quad i(t) = I_0\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)
I0=ER+rτ=LR+rI_0 = \frac{E}{R+r} \qquad \tau = \frac{L}{R+r}

Conditions limites : ub(0)=Eu_b(0) = E (toute la tension aux bornes de la bobine à t=0t=0) — ub(∞)=r I0u_b(\infty) = r\,I_0 (régime permanent) — uR(∞)=R I0u_R(\infty) = R\,I_0

EL=12L i2(J)E_L = \frac{1}{2}L\,i^2 \quad (\text{J})
⚠

Attention : τ=L/(R+r)\tau = L/(R+r) et non L/RL/R sauf si r=0r = 0. La bobine réelle a toujours deux termes dans ubu_b.

Équation différentielle du dipôle RL

Circuit

En série : générateur idéal de f.é.m. EE, résistance RR, bobine (L,r)(L, r). À t=0t = 0, on ferme l'interrupteur KK. On cherche i(t)i(t).

1

Loi des mailles : E=uR+ubE = u_R + u_b

2

Exprimer chaque tension : uR=R iu_R = R\,i et ub=Ldidt+r iu_b = L\dfrac{di}{dt} + r\,i

3

Substituer : E=R i+Ldidt+r iE = R\,i + L\dfrac{di}{dt} + r\,i

Ldidt+(R+r) i=EL\frac{di}{dt} + (R+r)\,i = E
4

Solution : On pose i(t)=I0(1−e−t/τ)i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau}) et on identifie par substitution.

5

Terme constant : (R+r) I0=E⇒I0=ER+r(R+r)\,I_0 = E \Rightarrow I_0 = \dfrac{E}{R+r}

6

Terme en e−t/τe^{-t/\tau} : −Lτ+(R+r)=0⇒τ=LR+r-\dfrac{L}{\tau} + (R+r) = 0 \Rightarrow \tau = \dfrac{L}{R+r}

i(t)=ER+r(1−e−t/τ),τ=LR+ri(t) = \frac{E}{R+r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R+r}
⚠

Erreur fréquente : écrire τ=L/R\tau = L/R en oubliant rr. La constante de temps fait intervenir la résistance totale R+rR + r.

Tensions $u_R(t)$ et $u_b(t)$ — Conditions limites

Données

Circuit RL série, EE connue. On a établi : i(t)=I0(1−e−t/τ)i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau}) avec I0=ER+rI_0 = \dfrac{E}{R+r} et τ=LR+r\tau = \dfrac{L}{R+r}.

1

Tension aux bornes de RR : uR(t)=R i(t)u_R(t) = R\,i(t)

uR(t)=R I0(1−e−t/τ)=RER+r(1−e−t/τ)u_R(t) = R\,I_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = \frac{RE}{R+r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)
2

Tension aux bornes de la bobine : loi des mailles ub(t)=E−uR(t)u_b(t) = E - u_R(t)

ub(t)=E e−t/τ+rER+r(1−e−t/τ)u_b(t) = E\,e^{-t/\tau} + \frac{rE}{R+r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)
3

Vérification à t=0t = 0 : i(0)=0i(0) = 0, donc uR(0)=0u_R(0) = 0 et ub(0)=E−0=Eu_b(0) = E - 0 = E ✓

4

Vérification en régime permanent (t→∞t \to \infty) : i(∞)=I0i(\infty) = I_0, donc uR(∞)=R I0u_R(\infty) = R\,I_0 et ub(∞)=r I0u_b(\infty) = r\,I_0

Bilan des conditions limites : ub(0)=Eu_b(0) = E — ub(∞)=r I0=rER+ru_b(\infty) = r\,I_0 = \dfrac{rE}{R+r} — Si r=0r = 0 : ub(∞)=0u_b(\infty) = 0 et ub(t)=E e−t/τu_b(t) = E\,e^{-t/\tau}

⚠

Attention : ub(∞)=r I0u_b(\infty) = r\,I_0 n'est nul que si la bobine est idéale (r=0r = 0). En général, la bobine conserve une tension non nulle en régime permanent.

Énergie magnétique et détermination de $L$

Énergie magnétique

Une bobine d'inductance LL parcourue par un courant ii emmagasine une énergie magnétique ELE_L.

EL=12L i2(J)E_L = \frac{1}{2}L\,i^2 \quad (\text{J})

En régime permanent : i=I0=ER+ri = I_0 = \dfrac{E}{R+r}, donc EL=12L I02E_L = \dfrac{1}{2}L\,I_0^2. Cette énergie est restituée au circuit lors de la coupure.

Détermination de $L$ par oscilloscope

On alimente le circuit RL avec une tension triangulaire. On visualise uR(t)u_R(t) et ub(t)u_b(t). Sur [0, T2]\left[0,\,\dfrac{T}{2}\right], uRu_R est linéaire de pente aa.

1

Le courant : i=uRRi = \dfrac{u_R}{R}, donc didt=1RduRdt=aR\dfrac{di}{dt} = \dfrac{1}{R}\dfrac{du_R}{dt} = \dfrac{a}{R} (constante sur chaque demi-période)

2

La tension aux bornes de la bobine idéale (r≈0r \approx 0) : ub=Ldidt=LaRu_b = L\dfrac{di}{dt} = L\dfrac{a}{R}

3

La pente aa se lit sur l'oscillogramme : a=4 URmax⁡Ta = \dfrac{4\,U_{R\max}}{T}

L=R ub T4 URmax⁡L = \frac{R\,u_b\,T}{4\,U_{R\max}}
⚠

Attention : lors d'une rupture brusque du courant, LdidtL\dfrac{di}{dt} peut atteindre des milliers de volts (surtension). On utilise une diode de roue libre pour protéger le circuit.

Tu as une question sur Bobine et Dipôle RL ?

Demande à MonBacGPT et reçois une explication personnalisée.

Poser une question

Fiches récap à imprimer

Clique sur une fiche pour l'agrandir, puis télécharge-la pour l'imprimer.

Besoin d'aide sur Bobine et Dipôle RL ?

Pose ta question à MonBacGPT et reçois une explication personnalisée.

Poser une question