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Circuit RLC série

Oscillations libres et forcées

Circuit RLC série

Bobine (L,r)(L, r) + condensateur CC + résistance RR en série. Résistance totale : RT=R+rR_T = R + r.

d2uCdt2+RTLduCdt+1LCuC=0\frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{R_T}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0

Régime pseudopériodique : RTR_T faible → oscillations amorties, T>T0T > T_0, T≈T0=2πLCT \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC} | Régime apériodique : RT>RCR_T > R_C → retour monotone à l'équilibre sans oscillation

Circuit LC idéal ($R_T = 0$)

Bobine idéale (r=0r = 0), pas de résistance (R=0R = 0). Oscillations non amorties.

d2uCdt2+1LCuC=0uC(t)=U0sin⁡(ω0t+φ)\frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC}u_C = 0 \qquad u_C(t) = U_0 \sin(\omega_0 t + \varphi)
ω0=1LC,T0=2πLC,N0=1T0\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad T_0 = 2\pi\sqrt{LC}, \quad N_0 = \frac{1}{T_0}

Énergie électromagnétique

Énergie totale : E(t)=12CuC2+12Li2E(t) = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2. En RLC : dEdt=−RTi2≤0\frac{dE}{dt} = -R_T i^2 \leq 0 (dissipation Joule). En LC idéal : E=12CU02=12LImax2=constanteE = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2 = \text{constante}.

Oscillations forcées (RLC + GBF)

Le circuit oscille à la fréquence NN du GBF. Impédance : Z=(R+r)2+(Lω−1Cω)2Z = \sqrt{(R+r)^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}. Résonance d'intensité : N=N0N = N_0, Zmin=R+rZ_{min} = R+r, Imax=UR+rI_{max} = \frac{U}{R+r}.

Établissement de l'équation différentielle

Données

Circuit RLC série : bobine (L,r)(L, r), condensateur CC, résistance RR. À t=0t = 0 : condensateur chargé sous tension EE, i(0)=0i(0) = 0. On cherche l'équation en uC(t)u_C(t).

1

Loi des mailles (sens de parcours = sens du courant ii) : uL+ur+uR+uC=0u_L + u_r + u_R + u_C = 0

2

Exprimer chaque tension : uL=Ldidtu_L = L\dfrac{di}{dt}, ur=riu_r = ri, uR=Riu_R = Ri, uC=qCu_C = \dfrac{q}{C}

3

Substitution dans la loi des mailles : Ldidt+(R+r)i+qC=0L\dfrac{di}{dt} + (R+r)i + \dfrac{q}{C} = 0

4

Relation charge-courant : i=dqdti = \dfrac{dq}{dt} et q=CuCq = Cu_C, donc i=CduCdti = C\dfrac{du_C}{dt} et didt=Cd2uCdt2\dfrac{di}{dt} = C\dfrac{d^2u_C}{dt^2}

5

Substitution : LCd2uCdt2+(R+r)CduCdt+uC=0LC\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r)C\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0. Diviser par LCLC :

d2uCdt2+R+rLduCdt+1LCuC=0\frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0
6

Conditions initiales : uC(0)=Eu_C(0) = E (condensateur chargé), i(0)=CduCdt∣t=0=0i(0) = C\dfrac{du_C}{dt}\big|_{t=0} = 0 donc duCdt∣t=0=0\dfrac{du_C}{dt}\big|_{t=0} = 0

⚠

Attention : la résistance totale est RT=R+rR_T = R + r, il ne faut pas oublier la résistance interne rr de la bobine dans le coefficient d'amortissement.

Bilan énergétique du circuit RLC

Données

Circuit RLC série en oscillations libres. Énergie électrique EC=12CuC2E_C = \frac{1}{2}Cu_C^2, énergie magnétique EL=12Li2E_L = \frac{1}{2}Li^2.

E(t)=EC(t)+EL(t)=12q2(t)C+12Li2(t)E(t) = E_C(t) + E_L(t) = \frac{1}{2}\frac{q^2(t)}{C} + \frac{1}{2}Li^2(t)
1

Dériver E(t)E(t) par rapport au temps : dEdt=qCdqdt+Lididt\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{q}{C}\dfrac{dq}{dt} + Li\dfrac{di}{dt}

2

Utiliser dqdt=i\dfrac{dq}{dt} = i : dEdt=qC⋅i+Lididt=i(qC+Ldidt)\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{q}{C}\cdot i + Li\dfrac{di}{dt} = i\left(\dfrac{q}{C} + L\dfrac{di}{dt}\right)

3

D'après la loi des mailles : Ldidt+qC=−(R+r)iL\dfrac{di}{dt} + \dfrac{q}{C} = -(R+r)i, donc :

dEdt=−(R+r) i2=−RT i2≤0\frac{dE}{dt} = -(R+r)\,i^2 = -R_T\,i^2 \leq 0
4

dEdt<0\dfrac{dE}{dt} < 0 tant que i≠0i \neq 0 → l'énergie décroît strictement : elle est dissipée par effet Joule dans RTR_T.

5

Énergie dissipée entre t0t_0 et t1t_1 : Edissipeˊe=E(t0)−E(t1)E_{\text{dissipée}} = E(t_0) - E(t_1)

⚠

Attention : dEdt=0\frac{dE}{dt} = 0 uniquement aux instants où i=0i = 0 (extrema de uCu_C), pas de manière permanente. L'énergie totale ne se conserve pas en régime RLC.

Oscillateur LC idéal — Oscillations libres non amorties

Données

Bobine idéale (r=0r = 0), R=0R = 0. Condensateur chargé : uC(0)=U0u_C(0) = U_0, q(0)=Q0=CU0q(0) = Q_0 = CU_0, i(0)=0i(0) = 0.

1

Loi des mailles : uL+uC=0u_L + u_C = 0, soit Ldidt+qC=0L\dfrac{di}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0

2

Avec i=CduCdti = C\dfrac{du_C}{dt} et didt=Cd2uCdt2\dfrac{di}{dt} = C\dfrac{d^2u_C}{dt^2}, on obtient :

d2uCdt2+1LC uC=0\frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,u_C = 0
3

Pulsation propre, période propre, fréquence propre :

ω0=1LC,T0=2πLC,N0=1T0\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad T_0 = 2\pi\sqrt{LC}, \quad N_0 = \frac{1}{T_0}
4

Solution générale : uC(t)=U0sin⁡(ω0t+φ)u_C(t) = U_0\sin(\omega_0 t + \varphi). Avec uC(0)=U0u_C(0) = U_0 et i(0)=0i(0) = 0 → φ=π2\varphi = \dfrac{\pi}{2}

5

Charge et courant : q(t)=Q0sin⁡(ω0t+φ)q(t) = Q_0\sin(\omega_0 t + \varphi), i(t)=Q0ω0cos⁡(ω0t+φ)\quad i(t) = Q_0\omega_0\cos(\omega_0 t + \varphi) → Imax=Q0ω0I_{max} = Q_0\omega_0

6

Conservation de l'énergie : E(t)=12CuC2+12Li2=12CU02=12LImax2=constanteE(t) = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2 = \text{constante}

⚠

Attention : les énergies ECE_C et ELE_L oscillent chacune à la pulsation 2ω02\omega_0 (le double de la pulsation propre), mais leur somme reste constante.

Oscillations forcées — Impédance et résonance

Données

GBF : u(t)=Umsin⁡(ωt+φu)u(t) = U_m\sin(\omega t + \varphi_u) avec ω=2πN\omega = 2\pi N. Circuit RLC série : bobine (L,r)(L,r), condensateur CC, résistance RR. Courant : i(t)=Imsin⁡(ωt+φi)i(t) = I_m\sin(\omega t + \varphi_i).

1

Loi des mailles : uL+ur+uR+uC=u(t)u_L + u_r + u_R + u_C = u(t), soit Ldidt+(R+r)i+1C∫i dt=u(t)L\dfrac{di}{dt} + (R+r)i + \dfrac{1}{C}\int i\,dt = u(t)

2

Par la méthode de Fresnel, on obtient l'impédance du circuit :

Z=(R+r)2+(Lω−1Cω)2Z = \sqrt{(R+r)^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}
3

Déphasage Δφ=φi−φu\Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u :

tan⁡(Δφ)=1Cω−LωR+r,−π2<Δφ<π2\tan(\Delta\varphi) = \frac{\dfrac{1}{C\omega} - L\omega}{R+r}, \qquad -\frac{\pi}{2} < \Delta\varphi < \frac{\pi}{2}

Circuit capacitif (N<N0N < N_0) : Δφ>0\Delta\varphi > 0, le courant avance sur la tension | Circuit inductif (N>N0N > N_0) : Δφ<0\Delta\varphi < 0, le courant retarde | Résonance (N=N0N = N_0) : Δφ=0\Delta\varphi = 0, courant et tension en phase

4

Résonance d'intensité : ω=ω0=1LC\omega = \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} → Zmin=R+rZ_{min} = R + r → Imax=UR+rI_{max} = \dfrac{U}{R+r}

5

Puissance moyenne absorbée : P=UIcos⁡(Δφ)P = UI\cos(\Delta\varphi) où cos⁡(Δφ)\cos(\Delta\varphi) est le facteur de puissance, UU et II sont les valeurs efficaces.

⚠

Attention : en régime forcé, le circuit oscille à la fréquence NN imposée par le GBF, et non à sa fréquence propre N0N_0. Ne pas oublier rr dans le calcul de ZZ et de Δφ\Delta\varphi.

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