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RLC série — Oscillations forcées

Résumé complet

Contexte

Circuit RLC série alimenté par un GBF : u(t)=Umsin⁡(2πNt+φu)u(t) = U_m\sin(2\pi Nt + \varphi_u). Le courant oscille à la fréquence imposée NN (oscillations forcées).

Z=(R+r)2+(Lω−1Cω)2Im=UmZZ = \sqrt{(R+r)^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2} \qquad I_m = \frac{U_m}{Z}
tan⁡(Δφ)=1Cω−LωR+rΔφ=φi−φu\tan(\Delta\varphi) = \frac{\dfrac{1}{C\omega} - L\omega}{R+r} \qquad \Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u

Nature du circuit : N<N0N < N_0 → capacitif (Δφ>0\Delta\varphi > 0, courant en avance) | N=N0N = N_0 → résistif (Δφ=0\Delta\varphi = 0) | N>N0N > N_0 → inductif (Δφ<0\Delta\varphi < 0, courant en retard)

Reˊsonance d’intensiteˊ :ω0=1LC,Zmin⁡=R+r,Imax⁡=UR+r\text{Résonance d'intensité :}\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad Z_{\min} = R+r,\quad I_{\max} = \frac{U}{R+r}
Facteur de surtension :Q=Lω0R+r=1(R+r)L/CUC=Q⋅U\text{Facteur de surtension :}\quad Q = \frac{L\omega_0}{R+r} = \frac{1}{(R+r)\sqrt{L/C}} \qquad U_C = Q \cdot U
P=UIcos⁡(Δφ)=(R+r)I2cos⁡(Δφ)=R+rZP = UI\cos(\Delta\varphi) = (R+r)I^2 \qquad \cos(\Delta\varphi) = \frac{R+r}{Z}
⚠

Attention : l'impédance inclut rr (résistance de la bobine). Ne jamais écrire Um=UR+UL+UCU_m = U_R + U_L + U_C (addition vectorielle, pas scalaire). Les appareils indiquent les valeurs efficaces.

Impédance et déphasage du circuit RLC série

Données

Circuit RLC série : bobine (L,r)(L, r), condensateur CC, résistance RR. Tension imposée : u(t)=Umsin⁡(ωt+φu)u(t) = U_m\sin(\omega t + \varphi_u). On cherche ZZ et Δφ\Delta\varphi.

1

Loi des mailles : uL(t)+ur(t)+uR(t)+uC(t)=u(t)u_L(t) + u_r(t) + u_R(t) + u_C(t) = u(t), soit Ldidt+(R+r)i+qC=u(t)L\dfrac{di}{dt} + (R+r)i + \dfrac{q}{C} = u(t).

2

On pose i(t)=Imsin⁡(ωt+φi)i(t) = I_m\sin(\omega t + \varphi_i). En régime sinusoïdal forcé, on identifie les amplitudes et les phases.

3

Amplitude de la tension aux bornes de LL : ULm=LωImU_{Lm} = L\omega I_m (en avance de π/2\pi/2 sur ii). Amplitude aux bornes de CC : UCm=ImCωU_{Cm} = \dfrac{I_m}{C\omega} (en retard de π/2\pi/2 sur ii).

4

Par le diagramme de Fresnel, la tension totale a pour amplitude : Um2=[(R+r)Im]2+(LωIm−ImCω)2U_m^2 = \left[(R+r)I_m\right]^2 + \left(L\omega I_m - \dfrac{I_m}{C\omega}\right)^2.

5

On factorise par ImI_m : Um=Im(R+r)2+(Lω−1Cω)2U_m = I_m\sqrt{(R+r)^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}, d'où Z=UmImZ = \dfrac{U_m}{I_m}.

Z=(R+r)2+(Lω−1Cω)2Z = \sqrt{(R+r)^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}
6

Le déphasage Δφ=φi−φu\Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u vérifie : tan⁡(Δφ)=1Cω−LωR+r\tan(\Delta\varphi) = \dfrac{\frac{1}{C\omega} - L\omega}{R+r}.

tan⁡(Δφ)=1Cω−LωR+r−π2<Δφ<π2\tan(\Delta\varphi) = \frac{\dfrac{1}{C\omega} - L\omega}{R+r} \qquad -\frac{\pi}{2} < \Delta\varphi < \frac{\pi}{2}
⚠

Erreur fréquente : inverser l'ordre de soustraction. C'est bien 1Cω−Lω\frac{1}{C\omega} - L\omega au numérateur, et non Lω−1CωL\omega - \frac{1}{C\omega}.

Résonance d'intensité

Objectif

Trouver la fréquence pour laquelle ImI_m est maximale, puis calculer le facteur de surtension QQ.

1

Im=UmZI_m = \dfrac{U_m}{Z} est maximale quand ZZ est minimale, c'est-à-dire quand le terme (Lω−1Cω)2\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2 est nul.

2

Condition : Lω0=1Cω0L\omega_0 = \dfrac{1}{C\omega_0}, soit ω02=1LC\omega_0^2 = \dfrac{1}{LC}.

ω0=1LCN0=12πLC\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad N_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
3

À la résonance : Zmin⁡=R+rZ_{\min} = R + r, donc Imax⁡=UR+rI_{\max} = \dfrac{U}{R+r} (valeurs efficaces). Le circuit se comporte comme une résistance pure : Δφ=0\Delta\varphi = 0.

4

Tension aux bornes du condensateur à la résonance : UC=Imax⁡Cω0=U(R+r)Cω0U_C = \dfrac{I_{\max}}{C\omega_0} = \dfrac{U}{(R+r)C\omega_0}.

5

On définit le facteur de surtension Q=UCUQ = \dfrac{U_C}{U}, ce qui donne Q=1(R+r)Cω0=Lω0R+rQ = \dfrac{1}{(R+r)C\omega_0} = \dfrac{L\omega_0}{R+r}.

Q=Lω0R+r=1(R+r)L/CUC=Q⋅UQ = \frac{L\omega_0}{R+r} = \frac{1}{(R+r)\sqrt{L/C}} \qquad U_C = Q \cdot U
⚠

Attention : la résonance d'intensité a lieu exactement à ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC}, indépendamment de RR et rr. Un facteur QQ élevé entraîne un risque de surtension du condensateur.

Puissance moyenne — Facteur de puissance

Données

Circuit RLC série en régime sinusoïdal. Tension efficace UU, intensité efficace II, déphasage Δφ=φi−φu\Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u.

1

La puissance instantanée est p(t)=u(t)⋅i(t)p(t) = u(t) \cdot i(t). En régime sinusoïdal, la puissance moyenne vaut :

P=UIcos⁡(Δφ)=12UmImcos⁡(Δφ)P = UI\cos(\Delta\varphi) = \frac{1}{2}U_m I_m \cos(\Delta\varphi)
2

Le terme cos⁡(Δφ)\cos(\Delta\varphi) est le facteur de puissance. On montre que cos⁡(Δφ)=R+rZ\cos(\Delta\varphi) = \dfrac{R+r}{Z}.

3

En substituant U=ZIU = ZI et cos⁡(Δφ)=R+rZ\cos(\Delta\varphi) = \dfrac{R+r}{Z} dans P=UIcos⁡(Δφ)P = UI\cos(\Delta\varphi) :

4

P=ZI⋅I⋅R+rZ=(R+r)I2P = ZI \cdot I \cdot \dfrac{R+r}{Z} = (R+r)I^2. Cette puissance est dissipée sous forme thermique dans les résistances RR et rr.

P=(R+r)I2cos⁡(Δφ)=R+rZP = (R+r)I^2 \qquad \cos(\Delta\varphi) = \frac{R+r}{Z}
5

À la résonance : Δφ=0\Delta\varphi = 0, donc cos⁡(Δφ)=1\cos(\Delta\varphi) = 1 et P0=UImax⁡P_0 = UI_{\max} est maximale.

Analogie électromécanique

Contexte

Un pendule élastique (masse mm, ressort KK, frottement hh) soumis à F(t)=Fmsin⁡(ωt+φF)F(t) = F_m\sin(\omega t + \varphi_F) est analogue au circuit RLC série soumis à u(t)=Umsin⁡(ωt+φu)u(t) = U_m\sin(\omega t + \varphi_u).

Table d'analogie : u↔Fu \leftrightarrow F | i↔vi \leftrightarrow v | q↔xq \leftrightarrow x | R+r↔hR+r \leftrightarrow h | L↔mL \leftrightarrow m | 1/C↔K1/C \leftrightarrow K

Zmec=h2+(mω−Kω)2Vm=FmZmecZ_{\text{mec}} = \sqrt{h^2 + \left(m\omega - \frac{K}{\omega}\right)^2} \qquad V_m = \frac{F_m}{Z_{\text{mec}}}
1

Résonance de vitesse : VmV_m maximale quand mω=K/ωm\omega = K/\omega, soit ω=ω0=K/m\omega = \omega_0 = \sqrt{K/m}. Alors Vm=Fm/hV_m = F_m/h.

2

Résonance d'élongation : Xm=Vm/ωX_m = V_m/\omega maximale à ωr<ω0\omega_r < \omega_0, avec ωr2=ω02−h2/(2m2)\omega_r^2 = \omega_0^2 - h^2/(2m^2).

Nr2=N02−h28π2m2N_r^2 = N_0^2 - \frac{h^2}{8\pi^2 m^2}
3

Condition d'existence de la résonance d'élongation : ωr2>0\omega_r^2 > 0, soit h<hL=2Kmh < h_L = \sqrt{2Km}.

Puissances : électrique P=12UmImcos⁡(Δφ)=(R+r)I2P = \frac{1}{2}U_m I_m\cos(\Delta\varphi) = (R+r)I^2 | mécanique P=12FmVmcos⁡(φv−φF)=12hVm2P = \frac{1}{2}F_m V_m\cos(\varphi_v - \varphi_F) = \frac{1}{2}hV_m^2

⚠

Attention : ne pas confondre résonance de vitesse (à ω0\omega_0 exactement) et résonance d'élongation (à ωr<ω0\omega_r < \omega_0). En électrique, la résonance d'intensité est toujours à ω0=1/LC\omega_0 = 1/\sqrt{LC}.

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